Buigmodusfluctuaties en structurele stabiliteit van grafeennanoribbons (1)

  INVOERING

  Het samenspel tussen roostervervormingen en elektronendynamiek is een belangrijk ingrediënt waarmee rekening moet worden gehouden om de elektronische eigenschappen van toekomstige grafeenapparaten te begrijpen en te beheersen. Aan de ene kant een externe belastingtoegepast op grafeen produceert een pseudomagnetisch veld waarvan het effect eerst theoretisch werd voorspeld en vervolgens experimenteel werd bepaald.2 Dit zou het startpunt kunnen zijn van een veld genaamd straintronics, namelijk de controle van deelektronische eigenschappen door mechanische belasting toe te passen. Aan de andere kant beïnvloedt de intrinsieke golving sinds de vroege experimenten in gesuspendeerde grafeenmonsters de elektronenmobiliteit. Fluctuaties over deze golf,genaamd flexurale fononen, is voorgesteld als de bron van de intrinsieke limiet in de elektronenmobiliteit3 en, zeker, de beheersing van deze golvingen is een belangrijk aandachtspunt.

  Wanneer de dimensionaliteit wordt verminderd, worden hoogteverschillen versterkt als gevolg van de bekende neiging tot instabiliteit in lage dimensies. We verwachten dat dikke linten met quasi-onedimensionale geometrie sterkere thermische fluctuaties hebben dantweedimensionale systemen. Deze fluctuaties kunnen belangrijke effecten hebben op het elektronische transport en het mechanisme moet worden geïdentificeerd om de elektronische eigenschappen van grafeen nanobanden te controleren en te beheren.

  Het doel van het huidige artikel is om thermische excitaties in grafeen nanoribbons te bestuderen. We nemen een continuummodel als uitgangspunt, waardoor we rekening kunnen houden met de akoestische fononen met lange golflengte. Onze focus is om te begrijpen hoe hetvibratiemodi worden beïnvloed door verschillende randvoorwaarden en hoe deze trillingen de statische platte behuizing beïnvloeden. We analyseren deze punten door de buigen fononen buiten het vlak en de hoogtecorrelatiefuncties te berekenenvoor twee verschillende situaties: geklemde en vrije randen.

  Thermische geleidbaarheid van Phonon speelt een opwindende rol in de grafeenfysica. Uit metingen4 blijkt dat grafeen een van de beste warmtegeleiders ooit zou kunnen zijn, met een thermische geleidbaarheid K zo hoog als 5000 W / mK bij kamertemperatuur ingesuspendeerde monsters. Deze resultaten kunnen nieuwe toepassingen voor thermische regeling in nano-elektronica openen. Bovendien vallen de experimentele waarden voor K niet samen 5 en is er geen overeenstemming over wat voor soort fononen (in het vlak of uitvliegtuig) produceren de dominante bijdrage aan K.6. Onze studie zou licht kunnen werpen op de rol van de buigmodi in grafeen nanoribbons. We zullen dit punt in de volgende paragrafen bespreken.

Dit artikel is als volgt georganiseerd: In Sec. II we introduceren het Hamiltoniaanse model door een continuümlimiet van een aangebonden oppervlak te nemen met buigende energie. We bespreken ook hoe met de juiste randvoorwaarden rekening kan worden gehouden.

  In Sec. III we presenteren een algemeen formalisme gebaseerd op een padintegraal om de correlatiefuncties te verkrijgen. In Secs. IV en V verkrijgen we het out-of-plane fononische spectrum en de correlatiefuncties, waarbij de gevolgen ervan worden geanalyseerd. Tenslotte,in Sec. VI we geven onze conclusies en perspectieven.

  HET MODEL EN DE GRENSWAARDIGE VOORWAARDEN

  Singleand enkellaagse grafeen zijn systemen met een atomaire dikte. Als zodanig kan een continuüm-elastische theorie voor dikke platen niet eenvoudig worden gebruikt. Echter, hun mechanische eigenschappen, de vorming van rimpelingen en de fononspectrum als de basis van de elektron-fonon-interactie, worden goed beschreven door de elastische energievorm van dikke platen. De aanwijzing voor het begrijpen van dit feit is dat de buigstijfheid in grafeen niet voortkomt uit compressies endilataties van het continuummedium begrensd door vrije oppervlakken. Daarom kan de buigstijfheidsparameter niet worden verkregen uit de elastische parameters van het medium; in plaats daarvan is het een onafhankelijke hoeveelheid.7 Er wordt gedacht dat de buigingDe stijfheid in grafeen is te wijten aan de voorwaarden van de bindinghoek en de volgorde van de bindingen die zijn gekoppeld aan de dihedrale hoeken van de onderliggende C-C-interacties.8

  Dit onderscheid heeft een speciale betekenis in de aanwezigheid van randen, zoals het geval is met de linten die we in dit werk beschouwen. Om de discussie concreet te maken, vertrekken we van een vereenvoudigd vastgemaakt oppervlak met buigende energie, wat wel het geval isgeïntroduceerd in de studies van membranen.9 Het model Hamiltoniaan iswaarbij ni de normale eenheidsvector is op de eerste plaats van het rooster en j de dichtstbijzijnde buur is. We gebruiken κ¯ als de buigstijfheidsparameter in het roostermodel.

  Tot nu toe hebben we het integratiedomein en de fysieke randvoorwaarden voor ons probleem niet gespecificeerd. We beschouwen een lang en smal lint met breedte W en lengte L langs de y-richting.

  Gebruik periodieke randvoorwaarden in de y-richting. Daarom is de oppervlaktetermijn die overeenkomt met de laatste regel van Vgl. verdwijnt.

  De eerste term is evenredig met het kwadraat van de gemiddelde kromming en de laatste met de Gaussische kromming, beide geschreven in de harmonische benadering. In termen van deze krommingen, Vgl. is bekend als de Helfrich-vorm van de buigingenergie van een vloeibaar membraan.

  De termen vermenigvuldigen met h (x = ± 2, y) en ∂xh (x = ± 2, y) kunnen worden geïnterpreteerd als de kracht en het koppel op de rand van het lint. Het instellen van deze termen op nul betekent vrije randen hebben en de randvoorwaarden zijn dan kromming atotale afgeleide term die is verwaarloosdintegreren over alle paden die voldoen aan de randvoorwaarden (8) of (9).

Het is handig om het pad uit te breiden in de basis van de eigenfuncties van de operator O. Vanwege de periodieke begrenzingsvoorwaarde in de lange richting,kan zijn y afhankelijkheid scheiden. De eigenfuncties nemen de vorm aan

Fig. 1. (Kleur online) Dispersiekrommen gegeven door de functies λ¯ (q¯) voor het ingeklemde lint. We laten de eerste zeven takken van het spectrum zien die er in feite een oneindig aantal van hebben. In de inzet laten we een zoom van het dieptepunt zienenergiespectrum voor de eerste twee takken.

Na benadering. De eerste tak van Fig. 1 kan zijnvoorzien van een functie van de vorm λ¯ 0 (q¯) 二 / a0 + a1q¯2 + a2q¯ 4,met a0 = 500, al = 24 en a2 = 0,972. Als we dezwakke afhankelijkheid van de eigenfuncties op q¯m in Vgl. (16), de y-afhankelijkheid van de correlatie wordt gegeven door de volgende Fourier-transformatie:

(H (x1, y) H (x¯2,0))

= f 0 (x¯1) f 0 (x¯2)

Fig. 2. (Kleur online) Vierkant van de genormaliseerde eigenfuncties

m (x¯) voor de eerste drie takken van het spectrum in de ingeklemdlint. Deze berekeningen zijn gemaakt voor q¯ = 6π.

  De hoeveelheden Cn, zoals opgemerkt aan het einde van Sec, vertegenwoordigen normalisatieconstanten. Percelen voor (f n (x¯)) 2 met n = 0, 1, 2 en q¯m = 6π worden getoond in Fig. 2. Zoals uiteengezet in Ref, is er een gat in het spectrum en de nul-energiemodusbestaat niet voor q¯m = 0. Dit houdt verband met het feit dat globale vertalingen niet zijn toegestaan ​​omdat het lint aan de randen is geklemd. De opening in de eerste tak gedraagt ​​zich als A ~ 22.3 (in de oorspronkelijke eenheden) die de nul nadertwaarde voor het oneindige vierkante vel. We verwachten dat de hoogte-hoogtecorrelaties op verschillende punten exponentieel vervallen en dit is inderdaad het geval. In Fig. 3 tonen we de waarde van K (h¯ (0.25, y¯) h¯ (0.25,0)) langs de y-richtingen numeriek geëvalueerd uit Vgl. (16). De bijdrage van de eerste drie takken wordt getoond. Naarmate de kloof groter wordt gaan we naar takken met hogere energie, de bijdragen van de corresponderende correlaties worden steeds kleiner.

  Een snel verval van de correlaties wordt waargenomen in een afstand van de orde van W. In feite kunnen we de karakteristieke correlatielengte schatten met de

× [α sin (qR y¯) + β cos (qR y¯)], (22)

waarbij α = 0.00499, β = 0.00271 en qR + iqI = 2.273 + i4.185 is een nul van de noemer van Vgl. (21). Het verval van de correlatie wordt duidelijk gedomineerd door de exponentiële term. De karakteristieke schaal, d.w.z. de correlatielengte,is

ξ = W / 4.185 (in de originele eenheden).

  We zien dat het mogelijk is om de uitbreiding van de hoogte-hoogtecorrelatie te regelen door de breedte van het lint te wijzigen. Als we deze thermische fluctuatie associëren met het golven, impliceren deze resultaten dat de karakteristieke grootte van degeribbeld gebied groeit lineair met de breedte van de linten. In Fig. 4 tonen we de waarden van (h2 (x¯, y¯)) voor de eerste drie takken van Fig. 1. De dominante bijdrage afkomstig van de eerste tak produceert een maximale vervorming bij demidden van de linten. De andere takken produceren periodieke vervormingen volgens de vorm van de eigenfuncties f n (x¯), zoals getoond in Fig. 2. Het aantalvan knooppunten is precies n + 2 inclusief die aan de randen.

  Laten we het mogelijke gebruik van de vorige resultaten bespreken om de relatieve bijdrage van de in-plane en flexuralonen over de intrinsieke warmtegeleidingsvermogen van grafeen te verduidelijken. De kloof in het fononspectrum voor de ingeklemde lintenimpliceert dat er inderdaad geen akoestische fononen bestaan, wat leidt tot een sterkereductie van K. Echter, zoals getoond in Ref. 13, deze kloof is eigenlijk heel klein voor realistische waarden van W. In feite is voor W = 30 nm de tussenruimte AOP = 7,9 μeV. Als de vertaalsymmetrie

Fig. 3. (Kleur online) Hoogte-hoogte κ (h¯ (0.25, y¯) h¯ (0.25,0))

correlatie als functie van de afstand in de lange richting, voor het geklemde lint. De bijdragen van de drie eerste takken worden afzonderlijk getoond. De stippellijn geeft de benadering weer gegeven door Vgl. (22). De lengte vande linten zijn L = 1000 en de breedte W = 100.

  Fig. 4. (Kleur online) Gemiddeld kwadraat van de hoogte κ (h¯ (x¯, y¯) 2) als een functie op x¯, de afstand tot het midden, voor het ingeklemde lint.

  We tonen de bijdragen van de eerste drie takken. De lengte van de linten is L = 1000 en de breedte W = 100. is in alle richtingen gebroken, er is ook een opening voor de fononen in het vlak. Het is geschat in Ref. 13 is AIP = 1meVvoor een lint van dezelfde breedte, veel hoger dan AOP. Voor temperaturen die voldoende lager zijn dan RT, verwachten we dat de out-of-plane fononen worden geëxciteerd, maar niet de overeenkomstige in-plane modi. Als toekomstige bepalingen van K (T) in ingeklemdmonsters tonen een vermindering bij lage temperatuur, we zouden concluderen dat deze fononen niet erg relevant zijn voor thermische geleidbaarheid zoals geclaimd in eerdere werken.